数学神童
历史上间或出现神童。神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。卡尔·弗
雷德里希·高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。就像狮子
号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美号——数学王子。高斯不
仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三
个最伟大的数学家。现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们
的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学
的基础课程中也不出现。但高斯的肖像画却赫然印在10马克——流通最广泛的德
国纸币上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治·华盛顿和伊丽莎白二世。
1777年4月30日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。高斯的父
亲是个普通地劳动者。做过石匠、纤夫、花农。母亲是他父亲地第二个妻子。当
过女仆。没有受过什么教育。但她聪明善良。有幽默感。并且个性很强。她以97
岁高寿仙逝。高斯是她地独养儿子。据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上地一处错
误。高斯9岁那年在公立小学读书。一次他地老师为了让学生们有事干。叫他们
把从1到100这些数加起来。高斯几乎立刻就把写好结果地石板面朝下放在自己地
桌子上。当所有地石板最终被翻过时。这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确
的答案：5050，但是没有演算过程。高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和，
他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个
101相加，从而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计
算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。
高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。高
斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根仍默默无闻，由于高
斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语
言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年3月30日的事了。当
他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度
的直尺）做出了惊人的贡献，尤其是，发现了作正十七边形的方法，这是一个有
着二千多年历史的数学悬案。高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的五
十年间他一直维持这样的水准。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。
高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻。高斯说过：“数学
是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人也都称高斯为“数学王
子”。事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩。
对自然数的迷恋
数论是最古老的数学分支之一，主要研究自然数的性质和相互关系。从毕达
哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系之中，优美、简洁、智慧是这门科学
的特点。就像其他数学神童一样，高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年
谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与
狂热。”现代数学最后一个“百事通”——大卫·希尔伯特的传记作者在谈到大
师放下代数不变量理论转向数论研究时指出：“数学中没有一个领域能够象数论
那样，以它的美——一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华。”画家瓦西
里·康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”我注意到一些不曾研
究过数论的伟大数学家，如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹，他们都把后半
生的精力奉献给了哲学或宗教，唯独费尔马、欧拉和高斯这三位对数论有着杰出
贡献的数学家，却终其一生都不需要任何哲学和宗教，因为他们心中已经有了最
纯粹、最本质的艺术——数论。
这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情
谊”，这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳德邦，是个贫穷的办事员，
从没有受过高等教育，但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。
著名的英国数学家G·H·哈代在1913年“发现”了他，并于次年把他邀请到英国，
入剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时对他讲，自己刚才乘坐的出租
汽车车号1729似乎没有什么意义，但愿它不是一个不祥的预兆。拉曼纽扬却回答：
“不，这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和
的最小的数（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次
方）。哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想，
回答说：“这个数很大，答案是635318657。”（既等于59的四次方加上158的四
次方，又等于133的四次方加上134的四次方）
《算术研究》：数论的法典
1801年，年仅24岁的高斯出版了《算术研究》，从而开创了现代数论的新纪
元。书中出现了有关正多边形的作图，方便的同余记号以及优美的二次互反律的
首次证明等。这部伟大的著作曾经寄到法国科学院而被拒绝，但高斯自己把它发
表了。和高斯的前期作品一样，它是用拉丁文写的，这是当时科学界的世界语，
然而由于受十九世纪初国家主义的影响，高斯后来改用德文写作。如果他和其他
研究者坚持使用拉丁文，也许今日我们就可以免除语言上的困扰了。在那个世纪
的末端，集合论的创始人康托这样评价：
《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作，这给科学带
来的好处是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要，他的出
版物就是法典。比人类其它法典更高明，因为不论何时何地从未发觉出其中有任
何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到他青年时代第一部巨著时说的话：
“《算术研究》是历史的财富。”他当时的得意心情是颇有道理的。
关于《算术研究》，还流传着这样一个故事，1849年7月16日，哥廷根大学
为高斯获得博士学位五十周年举行庆祝会。当进行到某一程序时，高斯准备用
《算术研究》的一张原稿点烟，当时在场的数学家狄里克雷（后来继承了高斯的
职位），像见到渎圣行为一样吃了一惊，他立刻冒失地从高斯手中抢下这一页纸，
并一生珍藏它；他的编辑者在他死后从他的论文中间找到了这张原稿。
和艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品，任何丝毫的改
变都将破坏其内部的均衡。他常说：“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除
干净。”高斯对于严密性的要求也非常苛刻，使得一个定理从直觉的形式到完整
的数学证明，中间有一段很长的过程。此外，高斯十分讲究组织结构，他希望在
每一个领域中，都能树立起一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来。鉴
于上述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西。他的著名的警句是：宁肯少些，
但要成熟。为此，高斯付出了高昂的代价，包括把非欧几何学和最小二乘法的发
明权让给了罗巴切夫斯基、鲍耶和勒让德，就如同费尔马把解析几何和微积分的
发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼兹。
从做出有关正多边形发现的那天起，高斯开始了著名的数学日记，他以密码
式的文字记载下许多伟大的数学发现。高斯的这本日记直到1898年才被找到，它
包括146条很短的注记，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。例如，关
于正多边形作图问题，高斯在日记中写到：
圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分。
又如1796年7月10日的记载，
num＝△＋△＋△
意指“每个自然数都是三个三角形数之和”。就像莫扎特一样，高斯年轻时
候风起云涌的奇思妙想使他来不及做完一件事，另一件又出现了。
多才多艺
高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在
《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛
观察到在白羊座（Aries）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星
（Ceres）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下